\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\renewcommand{\P}{\mathscr{P}}
\def\e{\hbox{\rm e}}
\begin{document}

\chead{Correction Devoir maison n°10}
\lfoot{}
\cfoot{A rendre pour le 10 Février 2021.}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Devoir maison n°10}

\end{center}
\vspace{30pt}

\section*{Exercice 1 - Obligatoire pour les groupes 9 et 10}

On considère la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par :
\begin{center}
$u_0 = a$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1} = u_n(2-u_n)$, 
\end{center}
où $a$ est un réel tel que $0 < a <1$. 
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ (polynôme) et
$$
\forall x \in \R,\quad f'(x) = 2 - 2x
$$
On a $2 - 2x > 0 \Longleftrightarrow 1 > x$. Sachant que $\li_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$ et $\li_{\to + \infty} f(x) = - \infty$. D'où le tableau de variation suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/1, Variations de $f$/2}{$- \infty$,1,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,}
\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/1, -/$-\infty$}
\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item \begin{enumerate}
\item On montre les propriétés suivantes $\P_n : \left\{  0 < u_n < 1 \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 = a \in ]0,1[$ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc 
\begin{align*}
& 0 < u_n < 1 \\
\Longrightarrow \; & f(0) < f(u_n) <f(1) \quad \text{(La fonction $f$ est croissante sur $[0,1]$.)}\\
\Longrightarrow \; & 0 < u_{n+1} < 1
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $ 0 < u_n < 1$. }\\
	\end{itemize}	
\item On sait que pour tout entier $n$, $u_n >0$,
$$
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 2 - u_n > 1 
$$ 
car $u_n < 1$. \begin{center}
\fbox{La suite $u_n$ est donc croissante .}
\end{center}
\item La suite est croissante et majorée par $1$. \fbox{Elle est donc convergente} et tend vers une limite $\ell \in \R$. On a nécessairement
$$
f(\ell) = \ell \Longleftrightarrow 2 \ell - \ell^2 = \ell \Longleftrightarrow \ell^2 - \ell = 0
$$ 
Les solutions possibles sont $0$ et $1$. Or, la suite $(u_n)$ est croissante donc 
\begin{center}
 \fbox{$\li_{n \to +\infty} u_n = 1$.}
 \end{center} 
\end{enumerate}
\item On considère la suite numérique $(v_n)_{n \in \N}$ définie sur $\N$ par :
\[ v_n = 1 - u_n \]
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n$, 
\begin{align*}
v_{n+1} &  = 1 - u_{n+1} \\
& = 1 - (2 u_n - u_n^2) \\
& = 1 - 2u_n + u_n^2 \\
& = (1-u_n)^2 
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{Ainsi $\forall n \in \N, \quad v_{n+1} = v_n^2$.}
\end{center}
\item On montre les propriétés suivantes $\P_n : \left\{  v_n = (1-a)^{2^n} \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $v_0 = 1- a $ et $(1-a)^{2^0} = 1-a$ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc 
\begin{align*}
v_{n+1} & = v_n^2 \\
& = \left( (1-a)^{2^n} \right)^2 \\
& = (1-a)^{2^{n+1}}
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $v_n = (1-a)^{2^n}$. }\\
	\end{itemize}	 
\item On a $1-a \in ]0,1[$. $\li_{n \to + \infty} 2^n = +\infty$ et $\li_{X \to + \infty} (1-a)^X = 0$. Donc 
\begin{center}
\fbox{$
\li_{n \to +\infty} v_n = 0.
$}
\end{center}
Et comme $u_n = 1 - v_n$, on retrouve
\begin{center}
\fbox{$
\li_{n \to +\infty} u_n = 1.
$}
\end{center}
\end{enumerate}
\item On considère le temps de vie d'une machine à café. En sortant de l'usine (au temps $t=0$), la machine à café à une probabilité $a$ d'être cassé ($0 < a < 1$). On notera $A_n$ l'événement "la machine est cassé au temps $t=n$" et $p_n = p(A_n)$. Si la machine est cassé au temps $t= n$ elle reste cassé au temps $t = n+1$. Si la machine est en état de marche au temps $t=n$, elle a la probabilité $p_n$ d'être cassé au temps $t = n+1$. 
\begin{enumerate}
\item Les évènements $A_0$ et $\overline{A_0}$ forment un système complet d'évènements. Donc, d'après la formule des probabilités totales.
\begin{align*}
p_1 = p(A_1) & = p(A_0) p_{A_0}(A_1) + P(\overline{A_0}) P_{\overline{A_0}} (A_1) \\
& = a \times 1 + (1-a) p_0 \\
& = a + (1-a) a \\
& = 2a - a^2 
\end{align*}
\begin{center}
 \fbox{On conclut que $p_1 = a(2-a)$.}
 \end{center} 
\item  Les évènements $A_0$ et $\overline{A_0}$ forment un système complet d'évènements. Donc, d'après la formule des probabilités totales.
 \begin{align*}
p_{n+1} = p(A_{n+1}) & = p(A_n) p_{A_n}(A_{n+1}) + P(\overline{A_n}) P_{\overline{A_n}} (A_{n+1}) \\
& = p_n \times 1 + (1-p_n) p_n \\
& = p_n ( 2 - p_n)
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{Pour tout $n \in \N$, $p_{n+1} = p_n (2-p_n)$.}
\end{center}
\item La suite $(p_n)$ est la même que la suite $u_n$ de la première partie. On a donc 
\begin{center}
\fbox{$p_n = 1 - v_n = 1 - (1-a)^{2^n}$.}
\end{center}
\begin{center}
\fbox{$
\li_{n \to +\infty} p_n = 1.
$}
\end{center}
Cela signifie que sur le long terme, la machine à café finira par être cassé (ce qui est logique finalement).
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Obligatoire pour tous les groupes}

Soit $\left( u_{n}\right) _{n\geq 0}$ la suite d\'{e}finie par $u_{0}=1$ et
pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, $u_{n+1}=\ln \left( 1+u_{n}^{2}\right) $%
.\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Script Scilab
\begin{verbatim}
n = input("Entrez un entier n")
u = 1
for k = 1:n
    u = log(1 + u^2)
end
disp(u)
\end{verbatim}

\item
On montre les propriétés suivantes $\P_n : \left\{ 0 \leq u_n \leq 1 \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 = 1$ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est donc vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc 
\begin{align*}
& 0 \leq u_n \leq 1 \\
\Longrightarrow \quad & 0 \leq u_n^2 \leq 1 \\
\Longrightarrow \quad & 1 \leq 1+u_n^2 \leq 2 \\
\Longrightarrow \quad & 0 \leq \ln(1+u_n^2) \leq \ln(2) \leq 1 \\
\Longrightarrow \quad & 0 \leq u_{n+1} \leq 1 \\
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $0 \leq u_n \leq 1$. }\\
	\end{itemize}	

\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle $\left[ 0,1%
\right] $, \`{a} valeurs r\'{e}elles, telle que $f\left( x\right) =\ln
\left( 1+x^{2}\right) -x$.\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $[0,1]$ en tant que composée et somme de fonction dérivable sur $[0,1]$ et 
$$
\forall x \in [0,1], \quad f'(x) = \dfrac{2x}{1+x^2} - 1 = \dfrac{-x^2 + 2x - 1}{1+x^2} = \dfrac{-(1-x)^2}{1+x^2} \leq 0
$$
La fonction $f$ est décroissante. $f(0) = 0$ et $f(1) = \ln(2) - 1$. 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1, Signe de $f'(x)$/1, Variations de $f$/2}{0,1}
\tkzTabLine{,-, }
\tkzTabVar{+/$0$,-/$\ln(2)-1$,}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center} 
On en déduit que 
\begin{center}
\fbox{$
\forall x \in [0,1], \quad f(x) \leq 0
$}
\end{center}
\item On a montré que $\forall n \in \N$, $u_n \in [0,1]$. On a donc
$$
f(u_n) \leq 0 \Longleftrightarrow u_{n+1} - u_n \leq 0
$$

\begin{center}
\fbox{La suite $(u_n)$ est donc décroissante. }
\end{center}

\item La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$. \begin{center}
\fbox{Elle est donc convergente.}
\end{center}
\end{enumerate}


\item \begin{enumerate}
\item On pose la fonction $g : x \to \ln(1+x) - x$. Cette fonction est dérivable sur $\R_+$ et 
$$
\forall x \in \R_+, g'(x) = \dfrac{1}{1+x} - 1 = \dfrac{-x}{1+x} \leq 0
$$
La fonction $g$ est donc décroissante et $g(0) = 0$. Donc $\forall x \in \R_+, g(x) \leq 0$, c'est à dire 
\begin{center}
\fbox{$
\forall x \geq 0, \quad \ln(1+x)\leq x
$}
\end{center}

\item Pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, $u_n^2 >0$ et donc, d'après la question précédente
\begin{center}
 \fbox{$ u_{n+1} = \ln(1+u_n^2) \leq u_n^2$.}
 \end{center} 

\item On montre les propriétés suivantes $\P_n : \left\{  u_n \leq (\ln 2)^n \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 \leq 1$ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est donc vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc 
\begin{align*}
& u_{n+1} \leq  u_n^2 \\
\Longrightarrow \quad &u_{n+1} \leq  (\ln 2)^n \times (\ln 2)^n \\
\Longrightarrow \quad & u_{n+1} \leq (\ln 2)^{n+1} 
\end{align*}
On a utilisé le fait que $ (\ln 2)^n \leq \ln(2)$ pour $n \geq 1$. La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $ u_n \leq (\ln 2)^n$. }\\
	\end{itemize}	

\item  On a pour $n \in \N$, $0 \leq u_n \leq (\ln 2)^n$. Comme $\ln 2 < 1$, $\li_{n \to + \infty} (\ln 2)^n = 0$. Donc d'après le théorème des gendarmes, 
\begin{center}
\fbox{$
\li_{ n \to + \infty} u_n = 0
$}
\end{center}


\item Soit $n \geq 2$, pour tout $k \in \entier{0,n-1}$, 
\begin{align*}
& u_k \leq (\ln 2)^k \\
\Longrightarrow & \sum_{k=0}^{n-1} u_k \leq \sum_{k=0}^{n-1} (\ln 2)^k \\
\Longrightarrow & \sum_{k=0}^{n-1} u_k \leq \dfrac{1 - (\ln 2)^n}{1 - \ln 2} 
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{enumerate} 


\newcommand\lra\longrightarrow
\newcommand\llra\longleftrightarrow
\newcommand\Llra\Longleftrightarrow
\def\ccl#1{\[ \boxed{#1}\]}
\subsection*{Exercice 3 - Obligatoire pour les groupes 1 à 4}
\begin{enumerate}
\item Montrons par récurrence sur $n$ que, pour tout $n\in\N$, $u_n$ existe bien et est strictement positif.\\
Tout d'abord $u_0$ est bien défini et, par définition, $u_0>0$.\\
Soit $n\in\N$, supposons que $u_n$ existe et que $u_n>0$.\\
$u_n$ étant non nul, $\ds\frac{a}{u_n}$ est bien défini donc $u_{n+1}$ existe bien. De plus $u_n>0$ et $a>0$ donc $\ds\frac{a}{u_n}>0$ et $u_n+\ds\frac{a}{u_n}>0$ d'où $u_{n+1}>0$.\\
On peut alors affirmer, d'après le principe de récurrence, que
\ccl{\text{Pour tout $n\in\N$, $u_n$ existe bien et est strictement positif.}}
\item $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables et, pour tout $x>0$, $\ds f'(x)=\frac12\left(1-\frac{a}{x^2}\right)$. Ainsi, pour tout $x>0$,
$$f'(x)\geq0\Llra1\geq\frac a{x^2}\Llra x^2\geq a\Llra x\geq \sqrt{a} \text{ (car $x>0$ et $a>0$)}$$
$f$ est décroissante sur $]0,\sqrt{a}]$ et croissante sur $[\sqrt{a},+\infty[$ donc, pour tout $x>0$,\\
$f(x)\geq f(\sqrt{a})$. Or
$$f(\sqrt{a})=\frac12\left(\sqrt{a}+\frac a{\sqrt{a}}\right)=\frac12(2\sqrt{a})=\sqrt{a}.$$
\ccl{\forall x>0,~f(x)\geq\sqrt{a}.}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N^\star$, on a $u_n=f(u_{n-1})$. Or $u_{n-1}>0$ d'après la question (1) donc la question (2) nous permet d'affirmer que
\ccl{\forall n\in\N^\star,~u_n\geq\sqrt{a}.}
\item Soit $n\in\N^\star$,
$$u_{n+1}-u_n=\frac12\left(u_n+\frac{a}{u_n}\right)-u_n=\frac12\left(\frac{a}u_n-u_n\right)=\frac12\frac{a-u_n^2}{u_n}.$$
Or $n\in\N^\star$ d'où $u_n\geq\sqrt{a}$ et $u_n^2\geq a$. On en déduit, puisque $u_n>0$, que $u_{n+1}-u_n\leq0$.
\ccl{\text{$(u_n)_{n\in\N^\star}$ est décroissante à partir du rang 1.}}
\item $(u_n)_{n\in\N^\star}$ est décroissante et minorée par $\sqrt{a}$ donc, d'après le théorème de la limite monotone, $(u_n)_{n\in\N^\star}$ converge vers $\ell\geq\sqrt{a}$. Ainsi
\ccl{\text{$(u_n)_{n\in\N}$ converge vers $\ell\geq\sqrt{a}$.}}
\item $f$ est continue sur $[\sqrt{a},+\infty[$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=f(u_n)$ donc $\ell=f(\ell)$. On a donc
$$\ell =\frac12\left(\ell+\frac a\ell\right)\Llra \frac12\left(\frac a\ell -\ell\right)=0\Llra\frac12\frac{a-\ell^2}\ell=0\Llra \ell^2=a \Llra \ell =\sqrt{a} \text{ car $\ell\geq\sqrt{a}\geq0$.}$$
\ccl{\text{$(u_n)_{n\in\N^\star}$ converge vers $\sqrt{a}$.}}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Pour tout $n\in\N$,
\begin{align*}
\frac{u_{n+1}-\sqrt{a}}{u_{n+1}+\sqrt{a}}=\frac{\frac12\left(u_n+\frac a{u_n}\right)-\sqrt{a}}{\frac12\left(u_n+\frac a{u_n}\right)+\sqrt{a}}=\frac{u_n+\frac a{u_n}-2\sqrt{a}}{u_n+\frac a{u_n}+2\sqrt{a}}=\frac{u_n^2+a-2\sqrt{a}u_n}{u_n^2+a+2\sqrt{a}u_n}=\frac{(u_n-\sqrt{a})^2}{(u_n+\sqrt{a})^2}
\end{align*}
\ccl{\forall n\in\N,~\frac{u_{n+1}-\sqrt{a}}{u_{n+1}+\sqrt{a}}=\left(\frac{u_n-\sqrt{a}}{u_n+\sqrt{a}}\right)^2.}
\item Montrons par récurrence sur $n$ que, pour tout $n\in\N$,
$$\frac{u_n-\sqrt{a}}{u_n+\sqrt{a}}=\left(\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}\right)^{2^n}.$$
Tout d'abord, on a bien
$$\left(\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}\right)^{2^0}=\left(\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}\right)^1=\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}.$$
Soit $n\in\N$, supposons que 
$$\frac{u_n-\sqrt{a}}{u_n+\sqrt{a}}=\left(\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}\right)^{2^n}.$$
Alors, d'après la question (4)(a),
$$\frac{u_{n+1}-\sqrt{a}}{u_{n+1}+\sqrt{a}}=\left(\frac{u_n-\sqrt{a}}{u_n+\sqrt{a}}\right)^2=\left(\left(\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}\right)^{2^n}\right)^2=\left(\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}\right)^{2\times2^n}=\left(\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}\right)^{2^{n+1}}$$
donc l'égalité reste vraie au rang $n+1$.\\
D'après le principe de récurrence, on peut ainsi affirmer que
\ccl{\forall n\in\N,~\frac{u_n-\sqrt{a}}{u_n+\sqrt{a}}=\left(\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}\right)^{2^n}.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}